Question

（2009•金山区一模）已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．
（1）求出m的值，并求出定义域D；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）是奇函数，可得出f（-x）=-f（x），由此方程恒成立，可得出参数m的方程，解出参数的值，再由对数的真数大于0得出x的不等式，解出函数的定义域即可；
（2）由于本题中参数a的取值范围未定，故应对它的取值范围分类讨论，判断函数的单调性再进行证明；
（3）由题设x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值．

解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
所以log_a

1-mx

x-1

=log_a

-x-1

1+mx

，…（2分）
即1-m²x²=1-x²对一切x∈D都成立，…（3分）
所以m²=1，m=±1，…（4分）
由于

1-mx

x-1

＞0，所以m=-1…（5分）
所以f（x）=log_a

1+x

x-1

，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）
（2）当a＞1时，f（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，…（7分）
则f（x₁）-f（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

2

x1-1

+1）-log_a（

2

x2-1

+1）…（9分）
由于x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，所以

2

x1-1

+1＞

2

x2-1

+1，得f（x₁）＞f（x₂），…（10分）
【注】只要写出x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=…=…，得出f（x₁）＞f（x₂）即可．
即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分）
同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分）
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1
因为f（x）在（r，a-2）上为增函数，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）

点评：本题考察对数函数性质的综合运用，解答本题关键是熟练掌握对数的性质，函数单调性的证明方法，单调性的运用等结论，本题中第三小问是难点，第二问证明较繁琐，是本题的重点．本题考察了打理证明的能力，等价转化的能力以及转化的思想