Question

已知数列{log₂（a_n-1）}，（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．由a₁=3，a₃=9可得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，可求d，由等差数列的通项公式可求log₂（a_n-1），进而可求a_n
（2）由（1）可得a_n=2ⁿ+1．利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求S_n

解答：解：（1）设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．
由a₁=3，a₃=9得，2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，解得d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=2ⁿ+1．
（2）∵a_n=2ⁿ+1．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）
=（2+2²+…+2ⁿ）+n=

2(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺¹+n-2

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，数列求和的分组求和方法的应用及等比数列的求和公式的应用，属于基础试题