Question

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₂=5，则

lim

n→∞

（

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

）=（　　）

• A、2
• B、

  3

  2

• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：根据题意，数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，设其公差为d，则log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，由对数的运算性质可得，

an-1

an-1-1

=2^d，又由a₁=3，a₂=5，可得

an-1

an-1-1

=2，则可得{a_n-1}是以a₁-1=2为首项，公比为2的等比数列，进而可得a_n=2ⁿ+1，结合题意有a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，代入可得答案．

解答：解：数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，
设其公差为d，则log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，
即

an-1

an-1-1

=2^d，又由a₁=3，a₂=5，
则d=1，即

an-1

an-1-1

=2，
{a_n-1}是以a₁-1=2为首项，公比为2的等比数列，
进而可得，a_n-1=2ⁿ，则a_n=2ⁿ+1，
故a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
则

lim

n→∞

（

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

）=

lim

n→∞

（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

）=1，
故选C．

点评：本题考查等差、等比数列的性质与极限的运算，注意与对数函数或指数函数的结合运用时，往往同时涉及等比、等差数列的性质，是一个难点．