Question

（2013•江苏一模）如图，圆锥的高PO=4，底面半径OB=2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE．
（1）求异面直线EF与BD所成角的余弦值；
（2）求二面角O-DF-E的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用

DE

⊥

EF

?

DE

•

EF

=0，又|

OF

|=2，即可解得点F的坐标．利用异面直线EF与BD的方向向量的夹角即可得出所成角（锐角）的余弦值；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．

解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F（x，y，0）．
∴

DE

=(0，1，0)，

EF

=(x，y-1，-2)，

BD

=(0，-2，2)．
∵

DE

⊥

EF

，∴

DE

•

EF

=y-1=0，解得y=1．
又∵|

OF

|=2，

x2+y2

=2，取x＞0，把y=1代入解得x=

3

，∴F(

3

，1，0)，∴

EF

=(

3

，0，-2)．
cos＜

BD

，

EF

＞=

BD • EF

| BD | | EF |

=

-4

8 × 7

=-

14

7

．
∴异面直线EF与BD所成角（锐角）的余弦值为

14

7

；
（2）设平面DEF的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1 • DE =0 n1 • EF =0

得

y1=0 3 x1-2z1=0

，令x₁=2，则z1=

3

，y₁=0，
∴

n1

=(2，0，

3

)．
设平面ODF的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），则

n2 • OD =0 n2 • OF =0

，得

2z2=0 3 x2+y2=0

，
令x₂=1，则y2=-

3

，z₂=0．∴

n2

=(1，-

3

，0)．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n2 | | n1 |

=

2

7 × 4

=

7

7

．
∴sinθ=

1-( 7 7 )2

=

42

7

．
∴二面角O-DF-E的正弦值为

42

7

．

点评：熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角求得异面直线所成角、利用两个平面的法向量的夹角得出二面角、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．