题目内容

已知
n
=(2cosx，
3
sinx)，
m
=(cosx，2cosx)，设f（x）=
n
•
m
+a．
（1）若x∈[0，
π
2
]且a=l时，求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；
（2）若x∈[0，π]且a=-1时，方程f（x）=b有两个不相等的实数根x1、x2，求b的取值范围及x1+x2的值．
分析：利用向量的数量积的坐标表示及和差角公式化简已知函数可得f(x)=2sin(2x+ 
π
6
)+a+1
（1）代入a=1，可得f(x)=2sin(2x+
π
6
) +2，由x的范围可得2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，从而找出最值及取最值的条件
（2）代入a=-1，可得f(x)=2sin(2x+
π
6
)，结合该函数在区间[o，π]的图象把方程f（x）=b的根转化为函数图象的交点问题
解答：解：f（x）=
n
•
m
+a=2cos2x+2
3
sinxcosx+a
=cos2x+1+
3
sin2x+a=2sin(2x+
π
6
)+a+1
（1）a=1，f(x)=2sin(2x+
π
6
)+2
∵0≤x≤
π
2
∴
π
6
≤2x+
π
6
≤ 
7π
6

当2x+
π
6
=
π
2
即x=
π
6
，f(x)max=4；x=
π
2
，f(x)min=1． 

（2）a=-1，f(x)=2sin(2x+
π
6
)
∵0≤x≤π，∴
π
6
≤2x+
π
6
≤
13π
6

∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1，∴-1≤f（x）≤2
当f（x）=b有两不等的根，结合函数的图象可得1＜b＜2或-2＜b＜1
b∈（-2，1）∪（1，2）；x1+x2=
π
3
，
4π
3
点评：本题以向量的数量积为切入点，实际考查三角函数y=Asin（wx+∅）（A＞0，w＞0）的性质，也体现了数形结合思想在解题中运用
练习册系列答案
相关题目
已知
m
=(2cosx+2
3
sinx，1)，
n
=(cosx，-y)，满足
m
•
n
=0．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(
A
2
)=3，且a=2，求b+c的取值范围．
已知
m
=(2cosx，
3
)，
n
=(sinx，cos2x)，记函数f(x)=
m
•
n

（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）当x∈[0，
π
4
]时，求f（x）的值域．
（2013•长宁区一模）已知
m
=(2cosx+2
3
sinx，1)，
n
=(cosx，-y)，满足
m
•
n
=0．
（Ⅰ）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对应边长，若f(
A
2
)=3，且a=2，求b+c的取值范围．
已知
n
=(2cosx，
3
sinx)，
m
=(cosx，2cosx)，设f（x）=
n
•
m
+a．
（1）若x∈[0，
π
2
]且a=l时，求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；
（2）若x∈[0，π]且a=-1时，方程f（x）=b有两个不相等的实数根x1、x2，求b的取值范围及x1+x2的值．

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