Question

抛物线D以双曲线C：8y²-8x²=1的焦点F（0，c），（c＞0）为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线l：y=x-1上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，求出c值，从而得出，最后写出抛物线D的标准方程；
（2）先设出切点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用导数的几何意义求以A、B为切点的切线方程，再设出P（x，x-1），代入两条切线方程，得x-1=xx₁-y₁．x-1=xx₂-y₂．故直线AB的方程为x-1=xx-y，过定点（1，1）
（3）先写出直线PQ的方程y=（x-1）+1，代入抛物线方程 ，得关于x的一元二次方程，为利用韦达定理准备条件，再设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），要证 =，只需证明 ，即2x₃x₄-（1+x）（x₃+x₄）+2x=0，最后利用韦达定理将x₃+x₄和x₃x₄代入即可得证．
解答：解：（1）由题意，c²=．
所以，抛物线D的标准方程为x²=2y．…（3分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，x-1），
由
抛物线D在点A处的切线方程为y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．…（4分）
而A点处的切线过点P（x，x-1），所以x-1=x₁x-y₁，
即（x₁-1）x+1-y₁=0．
同理，（x₂-1）x+1-y₂=0．
可见，点A，B在直线（x-1）x+1-y=0上．
令x-1=0，1-y=0，解得x=y=1
所以，直线AB过定点Q（1，1）…（6分）
（3）设P（x，x-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直线PQ的方程为y=．
由，消去y，
得x²-=0．
由韦达定理，x₃+x₄=．…（9分）
而|PM|•|QN|=|QM|•|PN|?

…（12分）
将x₃+x₄=代入方程（*）的左边，得
（*）的左边=-
=
=0．
因而有|PM|•|QN|=|QM|•|PN|．…（14分）
点评：本题考察了抛物线的切线方程，直线与抛物线相交的性质，解题时要特别注意韦达定理在解题时的重要运用，还要有较强的运算推理能力