Question

若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的半径为

 

，体积为

 

．

Answer 1

分析：画出几何图形，设出球的半径，通过正四面体的高，求出球的半径，然后求出球的体积．

解答：解：正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接于球
设正方体为ABCD-A₁B₁C₁D₁则正四面体为ACB₁D₁
设球半径为R，则AC=2R

6

3

设底面ACB₁中心为O则AO=2R

2

3

OD₁=2R

2

3

  即R

4

3

=4
解得R=3
V=R³

4π

3

=36π
故答案为：3；36π．

点评：本题考查球的体积，正四面体与正方体的关系，在几何解题中，往往相互联系，本题中采用转化思想，把正四面体的高，棱长与正方体的棱长，外接球的直径相结合，注意挖掘题设中的隐含条件．是解题成功的关键．