题目内容
对任意x∈R,函数f(x)的导数存在,若f′(x)>f(x),则以下正确的是( )
分析:由f′(x)>f(x)可得f'(x)-f(x)>0,而由e-x[f′(x)-f(x)]>0可判断函数e-xf(x)是单调递增函数,结合对x取特殊值可求.
解答:解:∵f′(x)>f(x)
∴f′(x)-f(x)>0
∵e-x>0
∴e-x[f′(x)-f(x)]>0
∴e-xf′(x)-e-xf(x)>0
而[e-xf(x)]′=(e-x)′f(x)+e-xf′(x)=-e-xf(x)+e-xf′(x)>0
∴e-xf(x)是单调递增函数
取x=2011,
于是e-2011f(2011)>e-0f(0)=f(0)
∴f(2011)>e2011f(0).
故选A
∴f′(x)-f(x)>0
∵e-x>0
∴e-x[f′(x)-f(x)]>0
∴e-xf′(x)-e-xf(x)>0
而[e-xf(x)]′=(e-x)′f(x)+e-xf′(x)=-e-xf(x)+e-xf′(x)>0
∴e-xf(x)是单调递增函数
取x=2011,
于是e-2011f(2011)>e-0f(0)=f(0)
∴f(2011)>e2011f(0).
故选A
点评:本题主要考查了导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性,这里的关键,是观察和利用e-xf(x)的导函数的形式.属于基础题.

练习册系列答案
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对任意x∈R,函数f(x)同时具有下列性质:①f(x+π)=f(x);②函数f(x)的一条对称轴是x=
,则函数f(x)可以是( )
π |
3 |
A、f(x)=sin(
| ||||
B、f(x)=sin(2x-
| ||||
C、f(x)=cos(2x-
| ||||
D、f(x)=cos(2x-
|