Question

已知a，b实数，设函数f（x）=2x²+（1+a）bx-b．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（1，3），求实数a，b的值；
（2）设b为已知的常数，且f（1）＞0，求满足条件的a的范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知2x²+（a+1）bx-b＜0的解集为（1，3），得1，3是方程2x²+（a+1）bx-b=0的两根，根据根与系数的关系即可求得a，b的值．
（2）由f（1）＞0，可得2+ab＞0，对b讨论即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）由题可知2x²+（a+1）bx-b＜0的解集为（1，3），
则1，3是方程2x²+（a+1）bx-b=0的两根，由韦达定理可知

- b(a+1) 2 =4 - b 2 =3

化为

ab+b+8=0 b=-6

解得

a= 1 3 b=-6

（2）∵f（1）=2+（1+a）b-b=2+ab＞0，∴ab＞-2．
当b=0时，a∈R；当b＞0时，a＞-

2

b

；当b＜0时，a＜-

2

b

．

点评：掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系是正确求得一元二次不等式的解集的关键．