题目内容

求矩阵M=
10
0-1
的特征值和特征向量，并计算M8
2
3
的值．
分析：本题考查矩阵的特征值及特征向量，并对某个向量连续施行多次变化的计算
解答：解：矩阵M的特征多项式f（λ）=（λ-1）（λ+1）
令f（λ）=0，得到矩阵M的特征值为1或-1．（2分）
矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为α1=
1
0

矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为α2=
0
1

又
2
3
=2α1+3α2（6分）
所以M8
2
3
=M8(2α1+3α2)=2(M8α1)+3(M8α2)=2•18
1
0
+3•(-1)8
0
1
=
2
3

（10分）
点评：矩阵连续作用下，向量的变换公式Mn=m 
λ
n
1
 
α
+n
λ
n
2
β
练习册系列答案
相关题目
已知矩阵M=
10
0-1
，N=
12
0-3
，求直线y=2x+1在矩阵MN的作用下变换所得到的直线方程．
精英家教网选做题本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中 两题 作答，每小题10分，共计20分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A选修4-1：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
B选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=
ab
cd
，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=
1
-1
，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=
3
2
．求矩阵A．
C选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．点
P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
D选修4-5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．
已知矩阵M=
1
0
0
-1
，N=
1
0
2
-3
，求直线y=2x+1在矩阵MN对应变换的作用下所得到的直线方程．
选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=
10
0-1
，N=
12
34

①求二阶矩阵X，使MX=N；
②求矩阵X的特征值以及其中一个特征值相应的一个特征向量．

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