题目内容

（2012•山东）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为
3
4
．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M的横坐标为
2
，直线l：y=kx+
1
4
与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当
1
2
≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．
分析：（Ⅰ）通过F（0，
P
2
），圆心Q在线段OF平分线y=
p
4
上，推出求出p=1，推出抛物线C的方程．
（Ⅱ）假设存在点M（x0，
x02
2
），（x0＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为函数的导数，求出Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，求出M（
2
，1）．使得直线MQ与抛物线C相切与点M．
（Ⅲ）当x0=
2
时，求出⊙Q的方程为．利用直线与抛物线方程联立方程组．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出|AB|2．同理求出|DE|2，通过|AB|2+|DE|2的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知F（0，
P
2
），圆心Q在线段OF平分线y=
p
4
上，
因为抛物线C的标准方程为y=-
p
2
，
所以
3p
4
=
3
4
，即p=1，
因此抛物线C的方程x2=2y．
（Ⅱ）假设存在点M（x0，
x02
2
），（x0＞0）满足条件，
抛物线C在点M处的切线的斜率为
y′
|
 
x=x0
=(
x2
2
) ′  
|
 
x=x0
=x0．
令y=
1
4
得，xQ=
x0
2
+
1
4x0
，
所以Q（
x0
2
+
1
4x0
，
1
4
），
又|QM|=|OQ|，
故( -
x0
2
+
1
4x0
)2+(
1
4
-
x02
2
) 2=(
x0
2
+
1
4x0
)2+
1
16
，
因此(
1
4
-
x02
2
) 2=
9
16
．又x0＞0．
所以x0=
2
，此时M（
2
，1）．
故存在点M（
2
，1），使得直线MQ与抛物线C相切与点M．
（Ⅲ）当x0=
2
时，由（Ⅱ）的Q（
5
2
8
，
1
4
），⊙Q的半径为：r=
(
5
2
8
)2+(
1
4
)2
=
3
6
8
．
所以⊙Q的方程为(x-
5
2
8
)2+(y-
1
4
)2=
27
32
．
由
y=
1
2
x2
y=kx+
1
4
，整理得2x2-4kx-1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=-
1
2
，
所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．
由
(x-
5
2
8
)2+(y-
1
4
)2=
27
32
y=kx+
1
4
，整理得（1+k2）x2-
5
2
4
x-
1
16
=0，
设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），
由于△=
k2
4
+
27
8
＞0，x3+x4=
5
2
4(1+ k 2)
，x3x4=-
1
16(1+ k 2)
．
所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2-4x3x4]=
25
8(1+ k 2)
+
1
4
，
因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）+
25
8(1+ k 2)
+
1
4
，令1+k2=t，由于
1
2
≤t≤5，则
5
4
≤t≤5，
所以|AB|2+|DE|2=t（4t-2）+
25
8t
+
1
4
=4t2-2t+
25
8t
+
1
4
，
设g（t）=4t2-2t+
25
8t
+
1
4
，t∈ [
5
4
，5]，因为g′（t）=8t-2-
25
8t2
，
所以当t∈ [
5
4
，5]，g′（t）≥g′（
5
4
）=6，
即函数g（t）在t∈ [
5
4
，5]是增函数，所以当t=
5
4
时，g（t）取最小值
13
2
，
因此当k=
1
2
时，|AB|2+|DE|2的最小值为
13
2
．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
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