题目内容

设椭圆 $数学公式$ 的左右顶点分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e= $数学公式$ ．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|=|PC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

解：（1）由题意，可得a=2，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得c= $\text{[math]}$ ，-----------------（2分）
∴b²=a²-c²=1，
因此，椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．-----------------（4分）
（2）设C（x，y），P（x₀，y₀），由题意得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，-----------------（6分）
又 $\text{[math]}$ ，代入得 $\text{[math]}$ ，即x²+y²=4．
即动点C的轨迹E的方程为x²+y²=4．-----------------（8分）
（3）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），
∵A、C、R三点共线，∴ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ =（m+2，n）， $\text{[math]}$ =（4，t），则4n=t（m+2），
∴t= $\text{[math]}$ ，可得点R的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），点D的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），-----------------（10分）
∴直线CD的斜率为k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
而m²+n²=4，∴-n²=m²-4，代入上式可得k= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，-----------------（12分）
∴直线CD的方程为y-n=- $\text{[math]}$ （x-m），化简得mx+ny-4=0，
∴圆心O到直线CD的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2=r，
因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切．-----------------（14分）
分析：（1）根据题意建立关于a、c的方程组，解出a=2，c= $\text{[math]}$ ，从而得到b²的值，即可求出椭圆的方程；
（2）设C（x，y）、P（x₀，y₀），可得x₀=x且y₀= $\text{[math]}$ y，结合点P（x₀，y₀）在椭圆上代入化简得到x²+y²=4，即为动点C的轨迹E的方程；
（3）设C（m，n）、R（2，t），根据三点共线得到4n=t（m+2），得R的坐标进而得到D（2， $\text{[math]}$ ）．由CD斜率和点C在圆x²+y²=4上，解出直线CD方程为mx+ny-4=0，最后用点到直线的距离公式即可算出直线CD与圆x²+y²=4相切，即CD与曲线E相切．
点评：本题给出椭圆及其上的动点，求椭圆的方程并用此探索直线CD与曲线E的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．