题目内容

已知椭圆
x2
m2
+
y2
16
=1(m＞0)和双曲线
x2
n2
-
y2
9
=1(n＞0)有相同的焦点F1、F2，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值是
25
25
．
分析：先根据椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，得到m2-n2=25；再根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF1|与|PF2|的表达式，代入即可求出|PF1|•|PF2|的值．
解答：解：因为椭圆
x2
m2
+
y2
16
=1(m＞0)和双曲线
x2
n2
-
y2
9
=1(n＞0)有相同的焦点F1、F2，
所以有：m2-16=n2+9⇒m2-n2=25
设P在双曲线的右支上，左右焦点F1、F2：
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2m   ①
|PF1|-|PF2|=2n    ②
由①②得：|PF1|=m+n，|PF2|=m-n．
∴|PF1|•|PF2|=m2-n2=25．
故答案为：25．
点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，利用定义化简．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
m2+m
+
y2
m
=1的右焦点为F，右准线为l，且直线y=x与l相交于A点．
（Ⅰ）若⊙C经过O、F、A三点，求⊙C的方程；
（Ⅱ）当m变化时，求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
（Ⅲ）若
AF
•
AB
＜5时，求椭圆离心率e的范围．
已知椭圆C：
x2
m2
+
y2
n2
=1(0＜m＜n)的离心率为
3
2
，且经过点P(
3
2
，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，kOD为直线OD的斜率，求证：k•kOD为定值；
（3）在（2）条件下，当t=1时，若
OA
与
OB
的夹角为锐角，试求k的取值范围．
已知椭圆C：
x2
m2
+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e，且b，e，
1
3
为等比数列，曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设双曲线C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的顶点和焦点分别是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C1和C2上的点，问是否存在A，B满足
OA
=
1
2
OB
．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e，且b，e，
1
3
为等比数列，曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设双曲线C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的顶点和焦点分别是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C1和C2上的点，问是否存在A，B满足
OA
=
1
2
OB
．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网