题目内容

已知函数f(x)=x2-1(x³1)的图像是C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称．

（1）求曲线C2的方程y=g(x)；

（2）设函数y=g(x)的定义或为M，x1，x2ÎM，且x1¹x2．求证|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|；

（3）设A，B是曲线C2上任意不同的两点，证明直线AB与直线y=x必相交．

答案：
解析：

（1）解：因为曲线C1和C2关于直线y=x对称，所以y=g(x)是y=f(x)的反函数．由y=x2-1，得x2=y+1．而由x³1和y³0，从而(y³0)，故曲线C2的方程是(x³0)．

（2）证明：由（1）知M={x|x³0}，设x1，x2ÎM，且x1¹x2，则有x1-x2>0，x1³0，x2³0，所以．

故|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|．

（3）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线C2上任意不同两点，x1，x2ÎM，且x1=x2，由（2）知．所以直线AB的斜率kAB¹1  又因为直线y=x的斜率为1，故直线AB与直线y=x必相交．


练习册系列答案
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已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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