题目内容

求证：函数f（x）=
lnxx
在区间（0，1）上是单调增函数．
分析：只需证明导数f′（x）≥0在（0，1）上成立．
解答：解：f′（x）=
(lnx)′•x-(lnx)•x′
x2
=
1
x
•x-lnx
x2
=
1-lnx
x2
，
∵x∈（0，1），∴lnx＜0，1-lnx＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函数f(x)=
lnx
x
在区间（0，1）上是单调增函数．
点评：本题考查导数与函数的单调性，导数的符号决定函数的单调性．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
已知定义在（-∞，+∞）的函数f（x），对任意x∈R，恒有f（x+
π2
）=-f（x）成立．
（1）求证：函数f（x）是周期函数，并求出它的最小正周期T；
（2）若函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，求出f（x）的解析式，写出它的对称轴方程．
已知函数f（x）=
2xx-2

（1）求证：函数f（x）在区间（2，+∞）内单调递减；
（2）求函数在x∈[3，5]的最大值和最小值．
设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)（b≤0）．
设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-
a2
．
（1）求证：函数f（x）有两个零点；
（2）设x1，x2是函数的两个零点，求|x1-x2|的取值范围．

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