题目内容
已知函数f(x)=
(x＞0)
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）设P为函数f（x）图象上的一点，以线段OP为母线绕x轴旋转得到几何体M，求几何体M的体积的最大值．
（3）如果0＜x1＜x2，且f（x1）=f（x2），试比较f（x2）与f（2-x1）的大小．
| x | ex |
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）设P为函数f（x）图象上的一点，以线段OP为母线绕x轴旋转得到几何体M，求几何体M的体积的最大值．
（3）如果0＜x1＜x2，且f（x1）=f（x2），试比较f（x2）与f（2-x1）的大小．
分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）表示出几何体M的体积，利用导数，确定函数的单调性，可得结论；
（3）确定0＜x1＜1＜x2，2-x1＞1，分类讨论，可得结论．
（2）表示出几何体M的体积，利用导数，确定函数的单调性，可得结论；
（3）确定0＜x1＜1＜x2，2-x1＞1，分类讨论，可得结论．
解答：解：（1）求导函数，可得f′(x)=
(x＞0)
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）；
（2）几何体M的体积V=
π•(
)2•x=
（x＞0）
∴V′=
∴x∈（0，9）时，V′＞0，函数单调递增；x∈（9，+∞）时，V′＜0，函数单调递减，
∴x=9时，V取得最大值，最大值为
；
（3）∵0＜x1＜x2，且f（x1）=f（x2），函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞），
∴0＜x1＜1＜x2，
∴2-x1＞1
若1＜x2＜2-x1，则f（x2）＞f（2-x1）；若x2＞2-x1＞1，则f（x2）＜f（2-x1）．
| 1-x |
| ex |
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）；
（2）几何体M的体积V=
| 1 |
| 3 |
| x |
| ex |
| πx3 |
| 3e2x |
∴V′=
| πx2(9-x) |
| e2x |
∴x∈（0，9）时，V′＞0，函数单调递增；x∈（9，+∞）时，V′＜0，函数单调递减，
∴x=9时，V取得最大值，最大值为
| 9π |
| e18 |
（3）∵0＜x1＜x2，且f（x1）=f（x2），函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞），
∴0＜x1＜1＜x2，
∴2-x1＞1
若1＜x2＜2-x1，则f（x2）＞f（2-x1）；若x2＞2-x1＞1，则f（x2）＜f（2-x1）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目