题目内容
如图,四边形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证:PC⊥AC;
(2)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值;
(3)求点B到平面MAC的距离.
(1)证明过程详见解析;(2)二面角的余弦值为
;(3)
.
【解析】
试题分析:本题考查空间两条直线的位置关系、二面角、点到平面的距离等基础知识,考查运用传统几何法,也可以运用空间向量法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,根据线面平行的判定定理得到平面
,所以
垂直于面内的任意线;第二问,法一:先找出二面角
的平面角,取
的中点
,因为
,所以
,由三垂线定理得
,所以得到二面角
的平面角为
,由已知得
,在
中用余弦定理求
,在
、
、
、
中求边长,最后在
中
即是二面角的余弦值.法二:用向量法,建立空间直角坐标系,设出
点坐标,因为直线
与直线
所成的角为
,利用夹角公式,先得到
点坐标,再求出平面
的法向量
,所以求
与
的夹角的余弦,并判断夹角为锐角,所以余弦值为正值;第三问,先找线段
的中点
到平面
的距离,利用线面垂直的判定定理,得到
即是,用等面积法求
,所以点
到平面
的距离是点
到平面
的距离的两倍.
试题解析:方法1:(1)证明:∵,
,∴
平面
,∴
.(2分)
(2)取的中点
,连
.∵
,∴
,∴
平面
.
作,交
的延长线于
,连接
.
由三垂线定理得,∴
为二面角
的平面角.
∵直线与直线
所成的角为
,
∴在中,
.
在中,
.
在中,
.
在中,
.
在中,∵
,∴
.
故二面角的余弦值为
.(8分)
(3)作于
.∵
平面
,∴
,∴
平面
,
∴点到平面
的距离为
.
∵点是线段
的中点,
∴点到平面
的距离是点
到平面
的距离的两倍为
.(12分)
方法2:(1)证明:∵,
,∴
平面
,∴
.(2分)
(2)在平面内,过
作
的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.
设,则
.
.
∵,
且,∴
,得
,∴
.
设平面的一个法向量为
,则由
得得
∴
.
平面的一个法向量为
.
.
显然,二面角为锐二面角,∴二面角
的余弦值为
.(8分)
(3)点到平面
的距离
.(12分)
考点:1.线面垂直的判定定理;2.三垂线定理;3.余弦定理;4.向量法;5.夹角公式;6.等面积法.
