Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．
（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．利用cos∠MHN=

NH

MH

，即可求出二面角M-AC-B的余弦值．

解答：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，BC∩AB=B，
∴PC⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴PC⊥AC．
（2）解：取BC的中点N，连MN．
∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．
由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．
在△ACN中，AN=

AC2+CN2-2AC•CN•cos120°

=

3

．在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=

3

cot60°=1．
在Rt△NCH中，NH=CN•sin∠NCH=1×sin60°=

3

2

．
在Rt△MNH中，∵MH=

MN2+NH2

=

7

2

，∴cos∠MHN=

NH

MH

=

21

7

．
故二面角M-AC-B的余弦值为

21

7

．

点评：本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，二面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．