题目内容

(1)求证:PC⊥AC;
(2)求二面角M-AC-B的余弦值.
分析:(1)利用线面垂直的判定定理,证明PC⊥平面ABC,然后证明PC⊥AC.
(2)取BC的中点N,连MN,证明MN⊥平面ABC.作NH⊥AC,交AC的延长线于H,连接MH,说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角.利用cos∠MHN=
,即可求出二面角M-AC-B的余弦值.
(2)取BC的中点N,连MN,证明MN⊥平面ABC.作NH⊥AC,交AC的延长线于H,连接MH,说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角.利用cos∠MHN=
NH |
MH |
解答:
(1)证明:∵PC⊥BC,PC⊥AB,BC∩AB=B,
∴PC⊥平面ABC,
∵AC?平面ABC,∴PC⊥AC.
(2)解:取BC的中点N,连MN.
∵PM=∥CN,∴MN=∥PC,∴MN⊥平面ABC.
作NH⊥AC,交AC的延长线于H,连接MH.
由三垂线定理得AC⊥MH,∴∠MHN为二面角M-AC-B的平面角.
∵直线AM与直线PC所成的角为60°,
∴在Rt△AMN中,∠AMN=60°.
在△ACN中,AN=
=
.在Rt△AMN中,MN=AN•cot∠AMN=
cot60°=1.
在Rt△NCH中,NH=CN•sin∠NCH=1×sin60°=
.
在Rt△MNH中,∵MH=
=
,∴cos∠MHN=
=
.
故二面角M-AC-B的余弦值为
.

∴PC⊥平面ABC,
∵AC?平面ABC,∴PC⊥AC.
(2)解:取BC的中点N,连MN.
∵PM=∥CN,∴MN=∥PC,∴MN⊥平面ABC.
作NH⊥AC,交AC的延长线于H,连接MH.
由三垂线定理得AC⊥MH,∴∠MHN为二面角M-AC-B的平面角.
∵直线AM与直线PC所成的角为60°,
∴在Rt△AMN中,∠AMN=60°.
在△ACN中,AN=
AC2+CN2-2AC•CN•cos120° |
3 |
3 |
在Rt△NCH中,NH=CN•sin∠NCH=1×sin60°=
| ||
2 |
在Rt△MNH中,∵MH=
MN2+NH2 |
| ||
2 |
NH |
MH |
| ||
7 |
故二面角M-AC-B的余弦值为
| ||
7 |
点评:本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用,二面角的求法,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.

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