Question

定义：若平面点集A中的任一个点（x₀，y₀），总存在正实数r，使得集合{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，则称A为一个好集，给出下列集合：
①{（x，y）|x²-y²=1}；
②{(x，y)|

x2

2

+y2＜1}；
③{（x，y）|x+4y+7≤0}；
④{（x，y）|y＞x²+1}
其中是好集的是

 

（请写出所有符合条件的序号）

Answer 1

分析：弄清好集的定义是解决本题的关键．即所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内．初步确定该集合不含边界．

解答：解：对于①，双曲线上每一点为圆心的圆（不是点圆）内部分不会在该双曲线上，故①不是好集；
对于②，椭圆内的每一点为圆心的圆（不是点圆）内部分可以都在椭圆内，只要半径足够小，④的道理一样；都是好集；
对于③，位于直线x+4y+7=0上的点不会满足好集的定义．
因此，符合好集定义的集合只有②④．
故答案为②④．

点评：本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息，解决问题的能力．正确理解好集的定义是解决本题的关键．