题目内容
(本小题满分14分)
如图,四棱锥的底面
为菱形,
平面
,
, E、F分别为
的中点,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
.
(Ⅱ)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)先证得.
再证得.由
,证出
平面
,所以,平面
平面
.
(Ⅱ)平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
解析试题分析:(Ⅰ)∵四边形是菱形,
∴.
在中,
,
,
∴.
∴,即
.
又, ∴
.…………………2分
∵平面
,
平面
,
∴.又∵
,
∴平面
,………………………………………4分
又∵平面
,
平面平面
. ………………………………6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知平面
,而
平面
,
∴平面平面
………………………7分
∵平面
,∴
.
由(Ⅰ)知,又
∴平面
,又
平面
,
∴平面平面
.…………………………9分
∴平面是平面
与平面
的公垂面.
所以,就是平面
与平面
所成的锐二面角的平面角.……10分
在中,
,即
.……………11分
又,
∴.
所以,平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.…………14分
理(Ⅱ)解法二:以为原点,
、
分别为
轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系
,如图所示.因为
,
,所以,
、
、
、
,…………7分
则,
,
.………8分
由(Ⅰ)知平面
,
故平面的一个法向量为
.……………………9分
设平面
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