Question

【题目】已知点，抛物线上存在一点M，使得直线AM的斜率的最大值为1，圆Q的方程为.

（1）求点M的坐标和C的方程；

（2）若直线l交C于D，E两点且直线MD，ME都与圆Q相切，证明直线l与圆Q相离.

Answer 1

【答案】（1），C的方程为（2）证明见解析；

【解析】

（1）（法一）设，代入抛物线方程，求出直线AM的斜率表达式，利用基本不等式求出取得最大值1．解得，求出抛物线方程． (法二)：设，则点在x轴上方，直线AM的方程为y=x+1，联立直线AM和抛物线C的方程并整理得，利用判别式解得p，然后求解抛物线方程．

（2）（法一）求出圆Q的圆心为，半径为，设过点M的直线MA或MB的方程为利用点到直线的距离解得．得到直线MD的方程，将直线MD方程与抛物线方程联立，设，求出D，E坐标，推出l的方程，判断直线l与圆Q相离．

（法二）求出圆心Q，半径为．设l的方程为．代入抛物线方程，转化求解直线的斜率，直线的方程式，通过与圆Q相切，转化求解D、E坐标，得到直线l得方程判断圆心Q到直线l的距离，得到结果．

解：(1)(法一)设，则，

由已知可得，直线AM的斜率为

当且仅当时，取得最大值1.

∴，解得，

∴，C的方程为.

法二：设，则点M在x轴上方

由已知，当直线AM的斜率为1时，直线AM与抛物线C相切

此时直线AM的方程为，

联立直线AM和抛物线C的方程并整理得

，∴，

解得：，且

∴，C的方程为.

(2)(法一)圆Q的方程可化为

圆Q的圆心为，半径为，

设过点M的直线MA或MB的方程为

化为，则，解得.

不妨设直线MD的方程为，

将直线MD与抛物线方程联立

消去x得.

设，则

∴，

同理设，.

∴，

∴直线l的斜率

∴直线l的方程为，即

∴l的方程，

此时圆心Q到直线l的距离

∴直线l与圆Q相离

(法二)圆Q的方程可化为.

圆心，半径为.

由题知，直线l的斜率必存在，

设l的方程为.

联立，消去x得

由，得，①

设

则，，②

直线MD的斜率为

直线MD的方程式为，

即

∵MD与圆Q相切，∴

∴，∴

由题知：，

或，

代入②得，

∴，满足①式，

∴直线l得方程为，即.

此时圆心Q到直线l的距离.

∴直线l与圆Q相离.