Question

已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x-a）²（x+b）e²，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，求b的取值范围．

Answer 1

解：f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，
则△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是，假设x₁，x₂是g（x）=0的两个实根，且x₁＜x₂．
（1）当x₁=a或x₂=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．
（2）当x₁≠a且x₂≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x₁＜a＜x₂．
即g（a）＜0
即a²+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0
所以b＜-a
所以b的取值范围是：（-∞，-a）
分析：先求出函数f（x）的导函数f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，讨论g（x）=0的两个实根x₁，x₂是否为a，从而确定x=a是否是f（x）的一个极大值点，建立不等关系即可求出b的范围．
点评：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．