题目内容
22、已知a是给定的实常数,设函数f(x)=(x-a)2(x+b)e2,b∈R,x=a是f(x)的一个极大值点,求b的取值范围.
分析:先求出函数f(x)的导函数f′(x)=ex(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a],令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a,讨论g(x)=0的两个实根x1,x2是否为a,从而确定x=a是否是f(x)的一个极大值点,建立不等关系即可求出b的范围.
解答:解:f′(x)=ex(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a],
令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a,
则△=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8>0,
于是,假设x1,x2是g(x)=0的两个实根,且x1<x2.
(1)当x1=a或x2=a时,则x=a不是f(x)的极值点,此时不合题意.
(2)当x1≠a且x2≠a时,由于x=a是f(x)的极大值点,故x1<a<x2.
即g(a)<0
即a2+(3-a+b)a+2b-ab-a<0
所以b<-a
所以b的取值范围是:(-∞,-a)
令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a,
则△=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8>0,
于是,假设x1,x2是g(x)=0的两个实根,且x1<x2.
(1)当x1=a或x2=a时,则x=a不是f(x)的极值点,此时不合题意.
(2)当x1≠a且x2≠a时,由于x=a是f(x)的极大值点,故x1<a<x2.
即g(a)<0
即a2+(3-a+b)a+2b-ab-a<0
所以b<-a
所以b的取值范围是:(-∞,-a)
点评:本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识.
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