Question

已知函数，其中a＞0
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与y=1平行，求a的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

解：∵函数，
∴，x≠0．（2分）
（1）由题意可得f'（1）=2（1-a³）=0，解得a=1，（3分）
此时f（1）=4，在点（1，f（1））处的切线为y=4，与直线y=1平行．
故所求a值为1．（4分）
（2）由f'（x）=0可得x=a，a＞0，（5分）
①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2]上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上递增，（6分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=2a³+2．（7分）
②当1＜a＜2时，

x	（1，a）	a	（a，2）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小	↑

由上表可得y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=3a²+1..（11分）
③当a≥2时，f'（x）＜0在[1，2）上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上递减．（12分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=a³+5．（13分）
综上讨论，可知：
当0＜a≤1时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=2a³+2；
当1＜a＜2时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=3a²+1；
当a≥2时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=a³+5..（14分）
分析：（1）先求出其导函数，在利用曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与y=1平行，即f'（1）=0即可求a的值；
（2）先由f'（x）=0可得x=a，a＞0，下面分0＜a≤1，1＜a＜2以及a≥2三种情况分别讨论得出函数在区间[1，2]上的单调性，进而求出函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程以及函数的最值及其几何意义，是对函数知识以及导数知识的综合考查，属于中档题．