题目内容

设函数.

（1）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，考查函数思想、综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，属于恒成立问题，通过导数将单调性问题转化为求函数最值的问题，根据基本不等式求最值；第二问，属于存在性问题，构造函数转化为求函数最值问题，用导数判断函数的单调性求最值.

试题解析：(1) ，

依题意，在内恒成立，

只需在内恒成立 ，

只需在内恒成立，

只需 ，

故在其定义域内为单调递增函数时的取值范围是  .(6分)

(2)依题意，在上有解 ，

设，，

，

因为，，所以在上恒成立，

所以在上是增函数，所以，依题意，要在上有解，只需，

所以，解得，

故所求的取值范围是 .(12分)

考点：1.恒成立问题；2.函数最值；3.存在性问题；4.判断函数的单调性.

 

练习册系列答案
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已知函数f(x)=px-
p
x
-2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g(x)=
2e
x
，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．
已知函数f(x)=a(x-
1
x
)-lnx．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g(x)=
e
x
，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．

设函数，.

（1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数、的值；

（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；

（3）当，时，求函数在区间上的最小值.

 

（本小题满分14分）设函数。

 （1）若在处取得极值，求的值；

 （2）若在定义域内为增函数，求的取值范围；

（3）设，当时，

求证：① 在其定义域内恒成立；

求证：② 。

 

设函数,其中。

(1)当时，在时取得极值，求；

(2)当时，若在上单调递增，求的取值范围；

(3)证明对任意的正整数,不等式都成立。

 

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