Question

左焦点为F的双曲线的右支上存在点A，使得直线FA与圆x²+y²=a²相切，则双曲线C的离心率取值范围是________．

Answer 1

分析：利用直线FA与圆x²+y²=a²相切，可求得切线的斜率为，再分析出切线AF的斜率小于渐进线y=x的斜率，即可求得双曲线C的离心率取值范围．
解答：设直线FA的方程为：y=k（x+c），∵直线FA与x²+y²=a²相切，
∴a=，
∴a²+a²k²=c²k²，
∴b²k²=a²，又k＞0，
∴k=，
∵切线与右支有交点A，则切线AF的斜率小于渐进线y=x的斜率，
即＜，
∴a²＜b²，又b²=c²-a²，
∴c²＞2a²．
∴e²=＞2，
∴e＞．
点评：本题考查双曲线的简单性质，分析出切线AF的斜率小于渐进线y=x的斜率是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．