Question

已知函数f(x)=-x³+ax²-4，a∈R，
(1)当a=3时，求f(x)在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
(2)若存在x₀∈(0，+∞)，使得f(x₀)＞0，求a的取值范围。

Answer 1

解：(1)当a=3时，，，
当x变化时，f′(x)、f(x)在区间[-1，1]上的变化情况如下表：

所以f(x)在区间[-1，1]上的最大值为f(-1)=0，最小值为f(0)=-4；
(2)，
若a≤0，则当x∈(0，+∞)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，
故f(x)＜f(0)=-4，不存在使题设成立的x₀；
若a＞0，则当时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；
当时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，
故f(x)在(0，+∞)上的最大值为，
所以满足题设的x₀存在，当且仅当，解得a＞3；
综上，使题设成立的a的取值范围是(3，+∞)。