Question

对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f(1)=

1

2

，则f（1）+f（2）+…+f（2011）=（　　）

• A、1-

  1

  22011

• B、1-

  1

  22010

• C、1-

  1

  22009

• D、

  1

  22011

  -1

Answer 1

分析：对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f(1)=

1

2

，可得f（n）=f（n-1）•f（1）=fn(1)=(

1

2

)n，从而可得f（1）+f（2）+…+f（2011）=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)2011，利用等比数列的求和公式可求

解答：解：对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f(1)=

1

2

，
∴f（2）=f（1）．f（1）=(

1

2

)2，f(3)=f(2)•f(1)=(

1

2

)3，…f（n）=f（n-1）•f（1）=fn(1)=(

1

2

)n
∴f（1）+f（2）+…+f（2011）=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)2011
=

1 2 [1-( 1 2 )2011]

1- 1 2

=1-

1

22011

故选：A

点评：本题主要考查了等比数列求和的公式的应用，解题得关键是要根据题中的已知条件中的递推公式求解出f（n）得通项公式．