Question

对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=，则[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（ ）
A．
B．1
C．-
D．

Answer 1

【答案】分析：先由f （x+y）=f （x）•f （y）得f （2x）=f （x）²⇒=f（x）．以及 =，两个结论相结合可得 =f（n）=ⁿ，把问题转化为求等比数列的和，再代入求和公式即可．
解答：解：由f（x+y）=f（x）•f（y）得 f（2x）=f（x）²⇒=f（x）．
∵f （x+y）=f （x）•f （y）⇒f （x+1）=f （x）•f （2）=2f（x）⇒=，
所以数列{f（n）}是以为首项，为公比的等比数列，故f（n）=×^n-1=（）ⁿ．
∴=f（n）=（）ⁿ．
则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（）¹+（）²+（）³+…+ⁿ==1-（）ⁿ．
[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=[1-（）ⁿ]=1
故选B．
点评：本题主要考查抽象函数及其应用．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．