Question

方程sin

πx

2

=logax(a＞0且a≠1)恰有三个不相等的实数根，则（　　）

• A．a∈?（?是空集）
• B．a∈（5，9）
• C．a∈(

  1

  7

  ，

  1

  3

  )
• D．a∈(

  1

  7

  ，

  1

  3

  )∪(5，9)

Answer 1

分析：在同一坐标系里作出函数f（x）=sin（

π

2

x）和g（x）=log_ax的图象，讨论当a＞1时图象交点的个数，可得当a∈（5，7）时，两图象恰有三个公共点；当0＜a＜1时，同理可得在a∈（

1

7

，

1

3

，）时，两图象恰有三个公共点．由此可得本题的正确答案．

解答：解：记f（x）=sin（

π

2

x）和g（x）=log_ax，方程sin

πx

2

=logax(a＞0且a≠1)恰有三个不相等的实数根，
可以理解为函数f（x）的图象g（x）恰有三个公共点．
作出两个函数的图象如下：

当a＞1时，在a=5的情况下，对数函数y=g（x）恰好经过函数三角y=f（x）的y轴右侧的最大值点A（5，1），此时两个图象恰好有两个公共点；而当在a=9的情况下，对数函数y=g（x）恰好经过函数三角y=f（x）的y轴右侧的最大值点A（9，1），此时两个图象恰好有4个公共点；说明只有5＜a＜9时，两个函数图象的公共点的个数恰好为3个．
当0＜a＜1时，同样的方法可得，在a∈（

1

7

，

1

3

，）时，两图象恰有三个公共点．
故原方程恰有3个实数根时，a∈(

1

7

，

1

3

)∪(5，9)
故选D

点评：本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数零点与方程根的个数的讨论等知识点，属于中档题．采用数形结合法，找图象上的界点，从而找到实数a的临界值，是解决本题的关键．