题目内容

把函数y=lnx-2的图象按向量
α
=(-1,2)平移得到函数y=f(x)的图象.
(1)若x>0,证明;f(x)>
2x
x+2

(2不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3对b∈[-1,1],x∈[-1,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)先根据向量的平移,求得f(x)=ln(x+1),再构建函数F(x)=f(x)-
2x
x+2
=ln(x+1)-
2x
x+2
,确定函数的单调性,从而可证不等式;
(2)不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3对b∈[-1,1],x∈[-1,1]时恒成立,等价于
x2
2
-ln(x2+1)≤m2
-2bm-3,对b∈[-1,1],x∈[-1,1]时恒成立,求出左边函数的最大值,进一步可化为对b∈[-1,1]时,0≤m2-2bm-3恒成立,即使2mb+3-m2≤0恒成立,从而可求实数m的取值范围.
解答:(1)证明:∵函数y=lnx-2的图象按向量
α
=(-1,2)平移得到函数y=f(x)的图象
∴f(x)=ln(x+1),
构建函数F(x)=f(x)-
2x
x+2
=ln(x+1)-
2x
x+2

求导函数得F′(x)=
1
x+1
-
4
(x+2)2
=
(x+2)2-4(x+1)
(x+1)(x+2)2
=
x2
(x+1)(x+2)2

∵x>0,∴F′(x)>0,
∴在(0,+∞)上,F(x)为增函数.
∴F(x)>F(0)=0,
f(x)-
2x
x+2
>0

f(x)>
2x
x+2

(2)解:∵不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3对b∈[-1,1],x∈[-1,1]时恒成立
x2
2
-ln(x2+1)≤m2
-2bm-3,对b∈[-1,1],x∈[-1,1]时恒成立
设g(x)=
x2
2
-ln(x2
+1),
则g′(x)=x-
2x
x2+1
=
x3-x
x2+1
=
x(x+1)(x-1)
x2+1

x∈(-1,0)时,g′(x)>0,x∈(0,1)时,g′(x)<0.
∴x∈(-1,1)时,g(x)≤g(0)=0.
∴x∈(-1,1)时,0≤m2-2bm-3,
∴问题可化为对b∈[-1,1]时,0≤m2-2bm-3恒成立,即使2mb+3-m2≤0恒成立.
m≥0
2m+3-m2≤0
m≤0
-2m+3-m2≤0

∴m≤-3或m≥3
综上,实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).
点评:本题重点考查导数知识的运用,考查利用导数确定函数的单调性,进而证明不等式,考查恒成立问题的理解与处理,综合性强.
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