Question

15．若关于x的不等式（2ax-1）lnx≥0对任意的x＞0恒成立，则实数a的取值范围是{$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 根据条件分别讨论x=1，x＞1或0＜x＜1时，利用参数分类法进行求解即可．

解答 解：若x=1，则不等式成立，
若x＞1，则lnx＞0，
则不等式等价为2ax-1≥0对x＞1恒成立，
即2ax≥1，即a≥$\frac{1}{2x}$，∵$\frac{1}{2x}$$＜\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
若0＜x＜1，则lnx＜0，
则不等式等价为（2ax-1）≤0对0＜x＜1恒成立，
即2ax≤1，即a≤$\frac{1}{2x}$，∵$\frac{1}{2x}$＞$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
综上a=$\frac{1}{2}$，
故答案为：{$\frac{1}{2}$}

点评 本题考查函数恒成立问题，考查构造函数与分类讨论思想，考查函数的单调性，属于难题．