Question

已知函数在处取得极值.
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.

Answer 1

（1）?（-1）=2是极大值，?（1）=-2是极小值
（2）切点坐标为M（-2，-2）,切线方程为9x-y+16=0

第一问由函数在处取得极值.
说明了?′（1）= ?′（-1）=0，得到a,b的值，并代入原式中，判定函数的单调性，得到极值问题。
第二问中，要求过点作曲线的切线，先设出切点坐标，然后结合导数的几何意义得到斜率，表示切线方程，再将A点代入方程中得到点的坐标，求解得到。
解:（1）?′(x)=3ax²+2bx-3，依题意，?′（1）= ?′（-1）=0，即
3a+2b-3=0，
3a-2b-3=0.解得a=1，  b="0."
∴?（x）=x³-3x，?′(x)=3x²-3=3（x+1）（x-1）.
令?′(x)=0，得x₁=-1，x₂=1.
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则?′(x)>0,故?（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函数.
若x∈（-1,1），则?′(x)<0,故?（x）在（-1,1）上是减函数.
所以?（-1）=2是极大值，?（1）=-2是极小值.
（1）曲线方程为y=x³-3x,点A（0,16）不在曲线上，设切点为M（x₀,y₀）
则点M的坐标满足y₀= x₀³-3x₀，
因为f’(x₀)=3(x₀²-1),故切线方程为
y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₉)
因为点A在曲线上，则可知16-（x₀³-3x₀）=3(x₀²-1)(x-x₉)
化简得到x₀=-2，
所以切点坐标为M（-2，-2）,切线方程为9x-y+16=0