Question

设关于x的方程是x²-(tanθ+i)x-(2+i)=0,

(1)若方程有实根,求锐角θ和实数根;

(2)求证：对任意θ≠kπ+(k∈Z)方程无纯虚数根.

Answer 1

（1）解：设方程的实根为a，则a²-（tanθ+i）a-（2+i）=0，

即a²-tanθ·a-2-(a+1)i=0.

∵a·tanθ∈R，∴

∴a=-1且tanθ=1.

又0＜θ＜,∴θ=,a=-1.

(2)证明：假设方程有纯虚数根bi(b∈R,b≠0),则

(bi)²-(tanθ+i)·bi-(2+i)=0.

∴-b²+b-2=0,                              ①

且-tanθ·b-1=0.                                   ②

由②得b=-cotθ,代入①得cot²θ+cotθ+2=0,此方程Δ=1-8＜0,∴cotθ为虚数,与cotθ∈R矛盾,假设不成立.∴原方程对于任意实数θ不可能有纯虚数根.