Question

20．记定点M （$\frac{5}{2}$，3）与抛物线y²=2x上的点P之间的距离为d₁，P到抛物线的准线l距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． 2$\sqrt{13}$
• C． 13
• D． 3

Answer 1

分析 如图所示，由抛物线y²=2x，可得焦点F（$\frac{1}{2}$，0）．过点P作PE⊥准线，垂足为E点．利用抛物线的定义可得：PE=PF．于是d₁+d₂=|PF|+|PM|=|PF|+|PM|≥|FM|．再利用两点间的距离公式即可得出．

解答 解：如图所示，
由抛物线y²=2x，可得焦点F（$\frac{1}{2}$，0）．
过点P作PE⊥准线，垂足为E点．
则PE=PF．
∴d₁+d₂=|PF|+|PM|=|PF|+|PM|≥|FM|．
∴d₁+d₂的最小值=|FM|=$\sqrt{（\frac{5}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的定义、两点间的距离公式、三角形的两边之间的关系，属于中档题．