题目内容

四面体ABCD满足AB=CD,BC=DA,AC=BD.设二面角D-AB-C为α,二面角DBCA为β,二面角D-AC-B为γ,则cosα+cosβ+cosγ=__________.

1?

解析：易得△ABC≌△CDA≌△BAD(SSS).?

?

设O在面ABC上投影为O,则△ABO、△BOC、△AOC分别为△ABD、△DBC、△ADC在面ABC上投影,?

cosα=.?

∴cosα+cosβ+cosγ=1.

练习册系列答案
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如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．
给出下列四个命题：
①若△ABC三边为a，b，c，面积为S，内切圆的半径r=
2S
a+b+c
，则由类比推理知四面体ABCD的内切球半径R=
3V
S1+S2+S3+S4
（其中，V为四面体的体积，S1，S2，S3，S4为四个面的面积）；
②若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是
y
=1.23x+0.08；
③若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|有3个根．
④若圆C1：x2+y2+2x=0，圆C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中，正确命题的序号是
①②④
①②④
．（把你认为正确命题的序号都填上）
（2012•宿州三模）已知正四面体ABCD内一点P，满足PA=PB=
17
，PC=PD=3，则该四面体的棱长是（　　）
已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（2）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．
如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．

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