题目内容
己知函数f(x)=log3
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象点的两点，横坐标为
的点P是M，N的中点．
（1）求证：y1+y2的定值；
（2）若Sn=f(
)+f(
)+…+f(
)(n∈N*，n≥2)，an=
(n∈N*)，Tn为数列{an}前n项和，当Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立时，试求实数m的取值范围．
（3）在（2）的条件下，设bn=
，Bn为数列{bn}前n项和，证明：Bn＜
．
| ||
| 1-x |
| 1 |
| 2 |
（1）求证：y1+y2的定值；
（2）若Sn=f(
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
|
（3）在（2）的条件下，设bn=
| 1 |
| 4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1 |
| 17 |
| 52 |
分析：（1）由已知得，x1+x2=1，由对数的计算公式代入可求结果；（2）由y1+y2=f（x1）+f（x2）=1可知，只需用倒序相加法的方式即可求得Sn，进而可得an，Tn，下面由恒成立问题的求法可得；（3）由前面的解答可得Sn+1=
，Sn+2=
，代入可得bn，由不等式的放缩法和裂项相消法可证．
| n |
| 2 |
| n+1 |
| 2 |
解答：解：（1）由已知得，x1+x2=1
∴y1+y2=log3
+log3
=log3
•
=log3
=1
（2）由（1）知当x1+x2=1时，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1
Sn=f(
)+f(
)+…+f(
) ①
Sn=f(
)+f(
)+…+f(
) ②
①+②得Sn=
，
当n≥2时，an=
=
-
又当n=1时，a1=
也适合上式，故an=
-
故Tn=(
-
)+(
-
)+…+(
-
)=
∵Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立
即m＞
=
恒成立，
又
=
≤
，
所以实数m的取值范围为：（
，+∞）
（3）因为Sn+1=
，Sn+2=
，
所以bn=
=
＜
-
故Bn=b1+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)
=
+
-
＜
∴y1+y2=log3
| ||
| 1-x1 |
| ||
| 1-x2 |
| ||
| 1-x1 |
| ||
| 1-x2 |
=log3
| 3x1x2 |
| 1-(x1+x2)+x1x2 |
（2）由（1）知当x1+x2=1时，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1
Sn=f(
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
Sn=f(
| n-1 |
| n |
| n-2 |
| n |
| 1 |
| n |
①+②得Sn=
| n-1 |
| 2 |
当n≥2时，an=
| 1 | ||||
4×
|
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
又当n=1时，a1=
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
故Tn=(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| n |
| 2(n+2) |
∵Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立
即m＞
| Tn |
| Sn+1+1 |
| n |
| (n+2)2 |
又
| n |
| (n+2)2 |
| 1 | ||
n+
|
| 1 |
| 8 |
所以实数m的取值范围为：（
| 1 |
| 8 |
（3）因为Sn+1=
| n |
| 2 |
| n+1 |
| 2 |
所以bn=
| 1 |
| 4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1 |
| 1 |
| (n+2)(n+3)+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| n+3 |
故Bn=b1+(
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| n+3 |
=
| 1 |
| 13 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n+3 |
| 17 |
| 52 |
点评：本题为数列的综合应用，涉及函数与不等式的内容，其中列项求和及不等式的放缩法是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
相关题目