题目内容
函数f(x)=x-
,其中a为常数.
(1)证明:对任意a∈R,函数y=f(x)图象恒过定点;
(2)当a=1时,不等式f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,求实数b的取值范围;
(3)若对任意a∈[m,0)时,函数y=f(x)在定义域上恒单调递增,求m的最小值.
alnx |
x |
(1)证明:对任意a∈R,函数y=f(x)图象恒过定点;
(2)当a=1时,不等式f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,求实数b的取值范围;
(3)若对任意a∈[m,0)时,函数y=f(x)在定义域上恒单调递增,求m的最小值.
(1)证明:令lnx=0,得x=1,且f(1)=1,
∴函数y=f(x)图象恒过定点(1,1). …(2分)
(2)当a=1时,f(x)=x-
,
∴f′(x)=1-
,即f′(x)=
,
令f'(x)=0,得x=1.
∴fmin(x)=f(1)=1,
∵f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,
∴-2b≥fmin(x),即-2b≥1,
∴实数b的取值范围为(-∞,-
].…(9分)
(3)f′(x)=1-
,即f′(x)=
,令h(x)=x2+alnx-a,
由题意可知,对任意a∈[m,0),f'(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立,
即h(x)=x2+alnx-a≥0在x∈(0,+∞)恒成立.
∵h′(x)=2x+
=
,令h'(x)=0,得x=-
(舍)或
.
列表如下:
∴hmin(x)=h(
)=(ln
-
)a≥0,解得a≥-2e3.
∴m的最小值为-2e3. …(16分)
∴函数y=f(x)图象恒过定点(1,1). …(2分)
(2)当a=1时,f(x)=x-
lnx |
x |
∴f′(x)=1-
1-lnx |
x2 |
x2+lnx-1 |
x2 |
令f'(x)=0,得x=1.
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
f'(x) | - |
0 | + |
f(x) | 极小值 |
∵f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,
∴-2b≥fmin(x),即-2b≥1,
∴实数b的取值范围为(-∞,-
1 |
2 |
(3)f′(x)=1-
a-alnx |
x2 |
x2+alnx-a |
x2 |
由题意可知,对任意a∈[m,0),f'(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立,
即h(x)=x2+alnx-a≥0在x∈(0,+∞)恒成立.
∵h′(x)=2x+
a |
x |
2x2+a |
x |
-
|
-
|
列表如下:
x | (0,
|
|
(
| ||||||||||||
h'(x) | - | 0 | + | ||||||||||||
h(x) | ↘ | 极小值 | ↗ |
-
|
-
|
3 |
2 |
∴m的最小值为-2e3. …(16分)
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