Question

某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架．已知制造x架该种飞机的产值函数为R（x）=3000x-20x²（单位：万元）成本函数C（x）=500x+4000（单位：万元）已知利润是产值与成本之差．
（1）求利润函数P（x）；
（2）求该公司的利润函数P（x）的最大值，并指出此时的x值．

Answer 1

分析：（1）利用利润是产值与成本之差，可求利润函数P（x）；
（2）由（1）得出：P（x）=-20（x-

125

2

）²+74125（x∈N^*，且x∈[1，100]），进而可确定利润函数P（x）的最大值．

解答：解：（1）根据利润是产值与成本之差，可得
P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x²）-（500x+4000）=-20x²+2500x-4000（x∈N^*，且x∈[1，100]）
（2）P（x）=-20x²+2500x-4000=-20（x-

125

2

）²+74125
∵x∈N^*，且x∈[1，100]
∴当x=62或63时，P（x）_max=74120（元）

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．