题目内容
已知函数f(x)=loga2m-1-mx | x+1 |
(1)求实数m的值,并写出区间D;
(2)若底数a满足0<a<1,试判断函数y=f(x)在定义域D内的单调性,并说明理由;
(3)当x∈A=[a,b)(A⊆D,a是底数)时,函数值组成的集合为[1,+∞),求实数a、b的值.
分析:(1)根据奇函数的性质,得到任意x∈D,有f(x)+f(-x)=0,即可得到(m2-1)x2-(2m-1)2+1=0在D内恒成立,即得到
即可得到m,写出区间D;
(2)令t=
=-1+
,在D=(-1,1)上是随x增大而减小,根据复合函数的单调性即可判断;
(3)根据A⊆D,结合(2)知函数f(x)=loga
在A上是增函数,得到f(a)=1,即 loga
=1得到a,在根据若b<1,则f(x)在A上的函数值组成的集合为[1,loga
),不满足函数值组成的集合是[1,+∞)的要求,得到b.
|
(2)令t=
1-x |
1+x |
2 |
1+x |
(3)根据A⊆D,结合(2)知函数f(x)=loga
1-x |
1+x |
1-a |
1+a |
1-b |
1+b |
解答:解(1)∵y=f(x)是奇函数,
∴对任意x∈D,有f(x)+f(-x)=0,即loga
+loga
=0.
化简此式,得(m2-1)x2-(2m-1)2+1=0.又此方程有无穷多解(D是区间),
必有
,解得m=1.
∴f(x)=loga
,D=(-1,1).
(2)当0<a<1时,函数f(x)=loga
在D=(-1,1)上是单调增函数.
理由:令t=
=-1+
.
易知1+x在D=(-1,1)上是随x增大而增大,
在D=(-1,1)上是随x增大而减小,
故t=
=-1+
在D=(-1,1)上是随x增大而减小
于是,当0<a<1时,函数f(x)=loga
在D=(-1,1)上是单调增函数.
(3)∵x∈A=[a,b)(A⊆D,a是底数)
∴0<a<1,a<b≤1.
∴由(2)知,函数f(x)=loga
在A上是增函数,即f(a)=1,loga
=1,
解得a=
-1(舍去a=-
-1).
若b<1,则f(x)在A上的函数值组成的集合为[1,loga
),不满足函数值组成的集合是[1,+∞)的要求,
∴必有b=1.
因此,所求实数a、b的值是a=
-1、b=1.
∴对任意x∈D,有f(x)+f(-x)=0,即loga
2m-1-mx |
1+x |
2m-1+mx |
1-x |
化简此式,得(m2-1)x2-(2m-1)2+1=0.又此方程有无穷多解(D是区间),
必有
|
∴f(x)=loga
1-x |
1+x |
(2)当0<a<1时,函数f(x)=loga
1-x |
1+x |
理由:令t=
1-x |
1+x |
2 |
1+x |
易知1+x在D=(-1,1)上是随x增大而增大,
2 |
1+x |
故t=
1-x |
1+x |
2 |
1+x |
于是,当0<a<1时,函数f(x)=loga
1-x |
1+x |
(3)∵x∈A=[a,b)(A⊆D,a是底数)
∴0<a<1,a<b≤1.
∴由(2)知,函数f(x)=loga
1-x |
1+x |
1-a |
1+a |
解得a=
2 |
2 |
若b<1,则f(x)在A上的函数值组成的集合为[1,loga
1-b |
1+b |
∴必有b=1.
因此,所求实数a、b的值是a=
2 |
点评:本题从恒等式出发得到m,另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数,属于中档题.
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