题目内容

已知函数f(x)=loga
2m-1-mxx+1
(a>0,a≠1)
是奇函数,定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合).
(1)求实数m的值,并写出区间D;
(2)若底数a满足0<a<1,试判断函数y=f(x)在定义域D内的单调性,并说明理由;
(3)当x∈A=[a,b)(A⊆D,a是底数)时,函数值组成的集合为[1,+∞),求实数a、b的值.
分析:(1)根据奇函数的性质,得到任意x∈D,有f(x)+f(-x)=0,即可得到(m2-1)x2-(2m-1)2+1=0在D内恒成立,即得到
m2-1=0
(2m-1)2-1=0
即可得到m,写出区间D;
(2)令t=
1-x
1+x
=-1+
2
1+x
,在D=(-1,1)上是随x增大而减小,根据复合函数的单调性即可判断;
(3)根据A⊆D,结合(2)知函数f(x)=loga
1-x
1+x
在A
上是增函数,得到f(a)=1,即 loga
1-a
1+a
=1
得到a,在根据若b<1,则f(x)在A上的函数值组成的集合为[1,loga
1-b
1+b
)
,不满足函数值组成的集合是[1,+∞)的要求,得到b.
解答:解(1)∵y=f(x)是奇函数,
∴对任意x∈D,有f(x)+f(-x)=0,即loga
2m-1-mx
1+x
+loga
2m-1+mx
1-x
=0

化简此式,得(m2-1)x2-(2m-1)2+1=0.又此方程有无穷多解(D是区间),
必有
m2-1=0
(2m-1)2-1=0
,解得m=1.
f(x)=loga
1-x
1+x
,D=(-1,1)

(2)当0<a<1时,函数f(x)=loga
1-x
1+x
在D=(-1,1)
上是单调增函数.
理由:令t=
1-x
1+x
=-1+
2
1+x

易知1+x在D=(-1,1)上是随x增大而增大,
2
1+x
在D=(-1,1)上是随x增大而减小,
t=
1-x
1+x
=-1+
2
1+x
在D=(-1,1)上是随x增大而减小
于是,当0<a<1时,函数f(x)=loga
1-x
1+x
在D=(-1,1)
上是单调增函数.
(3)∵x∈A=[a,b)(A⊆D,a是底数)
∴0<a<1,a<b≤1.
∴由(2)知,函数f(x)=loga
1-x
1+x
在A
上是增函数,即f(a)=1,loga
1-a
1+a
=1

解得a=
2
-1(舍去a=-
2
-1)

若b<1,则f(x)在A上的函数值组成的集合为[1,loga
1-b
1+b
)
,不满足函数值组成的集合是[1,+∞)的要求,
∴必有b=1.
因此,所求实数a、b的值是a=
2
-1、b=1
点评:本题从恒等式出发得到m,另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数,属于中档题.
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