题目内容

已知函数f(x)=
(3a-1)x+5a，x＜1
logax，x≥1
，现给出下列命题：
①当图象是一条连续不断的曲线时，则a=
1
8
；
②当图象是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数a，使得f （x）在R上是增函数；
③当a∈{m|
1
8
＜m＜
1
3
，m∈R}时，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④函数 y=f（|x+1|）是偶函数．
其中正确的命题是（　　）
A、①③B、②④
C、①③④D、①②③④
分析：
lim
x→1-
f(x)=
lim
x→1-
[(3a-1)x+5a]=8a-1=
lim
x→1+
f(x)=
lim
x→1+
loga x=0?a=
1
8
，故①正确；a=
1
8
，f （x）在R上是减函数，故②不正确；当a∈{m|
1
8
＜m＜
1
3
，m∈R}时，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正确；函数 y=f（|x+1|）是偶函数不成立．即④不正确．
解答：解：
lim
x→1-
f(x)=
lim
x→1-
[(3a-1)x+5a]=8a-1，
lim
x→1+
f(x)=
lim
x→1+
loga x=0，
∵图象是一条连续不断的曲线，
∴8a-1=0，a=
1
8
，故①正确；
当图象是一条连续不断的曲线时，
a=
1
8
，f （x）在R上是减函数，故②不正确；
当a∈{m|
1
8
＜m＜
1
3
，m∈R}时，
不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正确；
函数 y=f（|x+1|）是偶函数不成立．即④不正确．
故选A．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题时要注意极限和连续的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，则a的取值范围．
精英家教网已知函数f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）
已知函数f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函数．则实数a的值为
 
．
已知函数f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定义域与值域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）研究f（x）的单调性．
已知函数f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中实数a≠1．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．

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