题目内容

已知四边形ABCD为菱形，AB=6，∠BAD=60°，两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等，如图，E、M、N分别在AD、
AB、AP上，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面体SPABC的体积．

证明：（Ⅰ）取AD中点O，连PO，BO，则PO⊥AD，BO⊥AD
AD⊥平面PBO，
∴AD⊥PB（2分）
又 AN= $\text{[math]}$ AP，AM= $\text{[math]}$ AB
∴MN∥PB
∵MN⊥PE
∴PB⊥PE
∵PE∩AD=E
∴PB⊥平面PAD（3分）
解：（Ⅱ）设P，S在底面的射影分别为P₁，S₁，则
由所给的三棱锥均为正三棱锥且两三棱锥全等，
故PP₁∥SS₁，且PP₁=SS₁，∴四边形PSS₁P₁为平行四边形，
∴PS∥S₁P₁，又P₁，S₁分别为△ABD，△BCD的中心，
∴P₁，S₁在菱形的对角线AC上，
∴PS∥AC，即PS∥平面ABCD…（5分）
设平面PSB与平面ABCD的交线为l，取PS中点K，连接BK，DK，
由 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 为平面PSB与平面ABCD所成二面角的平面角…（7分）
在Rt△PP₁A中， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …（9分）
（III）设P，S在△ABD和△BDC上的射影为H₁，H₂，则H₁，H₂在直线AC上且PH₁∥SH₂，且PH₁=SH₂，

∴则H₁H₂SP为平行四边形，
∴PS∥AC
∴B-ACSP为四棱锥…7分
设PB=a，则PO²=a²-9，又BO=3 $\text{[math]}$ ，由（1）知∠BPO=90°
∴a²+a²-9=（3 $\text{[math]}$ ）²，
∴a²=18，即PB=3 $\text{[math]}$
∵PH₁⊥平面ABD，
∴PH₁⊥BD，
又BD⊥AC
∴BD⊥平面ACSP
设AC∩BD=F
∵四棱锥B-ACSP的高为BF，且BF=3…（9分）
∵H₁F= $\text{[math]}$ AF，H₂F= $\text{[math]}$ CF，
∴H₁H₂= $\text{[math]}$ AC=2 $\text{[math]}$ ，
∴PS=2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△PH₁A中，
PH₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S_ACSP= $\text{[math]}$ =12 $\text{[math]}$
∴多面体SPABC的体积V= $\text{[math]}$ •12 $\text{[math]}$ •3=12 $\text{[math]}$
分析：（I）取AD中点O，连PO，BO，由等腰三角形三线可一，可得PO⊥AD，BO⊥AD，进而根据线面垂直的判定和性质可得AD⊥PB，由平行线分线段成比例定理，可证得MN∥PB，结合MN⊥PE得PB⊥PE，进而根据线面垂直的判定定理得到PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）设P，S在底面的射影分别为P₁，S₁，取PS中点K，连接BK，DK，由线面夹角的定义，可得∠KBD即可为平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角，解三角形即可得到平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角．
（III）设P，S在△ABD和△BDC上的射影为H₁，H₂，根据PS∥AC，可得B-ACSP为四棱锥，分别计算四棱锥底面面积和高，代入即可得到多面体SPABC的体积．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得AD⊥PB，PB⊥PE，（II）的关键是证得∠KBD即可为平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角，（III）的关键是证得B-ACSP为四棱锥．