题目内容

已知f(x)=
x
1+
1+x
，a，b为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是（　　）
分析：由于f（x）=
x
1+
1+x
=f(x)=
x•(
1+x
-1)
(1+
1+x
)(
1+x
-1)
=
1+x
-1在[-1，+∞）上单调递增，故只需分析
a+b
2
，
ab
，
2ab
a+b
的大小关系即可．
解答：解：∵a，b为两个不相等的正实数，
∴
ab
-
2ab
a+b
=
ab
•（1-
2
ab
a+b
）=
ab
•（
a+b-2
ab
a+b
）=
ab
•
(
a
-
b
)2
a+b
＞0，
∴
ab
＞
2ab
a+b
；
又
a+b
2
＞
ab
，
∴
a+b
2
＞
ab
＞
2ab
a+b
；
又f（x）=
x
1+
1+x
，
得f(x)=
x•(
1+x
-1)
(1+
1+x
)(
1+x
-1)
=
1+x
-1，观察知，函数在[-1，+∞）上单调递增，
∴f(
a+b
2
)＞f(
ab
)＞f(
2ab
a+b
)．
故选A．
点评：本题考查基本不等式及函数单调性的判断与证明，难点在于判断函数f（x）=
x
1+
1+x
为单调递增函数，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=
x
1-x
，设f1（x）=f（x），fn（x）=fn-1[fn-1（x）]（n＞1，n∈N*），则f3（x）和fn（x）的表达式分别为（　　）
A、
x
1-4x
，
x
1-2n-1x
B、
x
1-8x
，
x
1-2nx
C、
x
1-2x
，
x
1-2n-2x
D、
x
1-x
，
x
1-2n-3x
定义运算：
.
ab
cd
.
=ad-bc
（1）若已知k=1，求解关于x的不等式
.
x1
1x-k
.
＜0
（2）若已知f(x)=
.
x1
-1k-x
.
，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值．
已知f(x)=
x
1+x
，
（1）求f(x)+f(
1
x
)的值；
（2）求f(1)+f(2)+…+f(5)+f(1)+f(
1
2
)+…+f(
1
5
)的值．
已知f(x)=
x
1+x
，数列{an}是以1为首项，f（1）为公比的等比数列；数列{bn}中b1=
1
2
，且bn+1=f（bn）
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn=an(
1
bn
-1)，求{cn}的前n项和为Tn．
（3）证明：对?n∈N+，有1≤Tn＜4．
给出以下五个命题：
①任意n∈N*，（n2-5n+5）2=1．
②已知f(x)=
x
1+x2
，则
f(f(f(…)))
 n个
=
x
1+nx2
．
③设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，则CU（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定义在R上的函数y=f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知a＞0，b＞0，则
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4．
其中正确命题的序号是
②⑤
②⑤
．

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