Question

如图，已知四棱锥V-ABCD，底面ABCD是平行四边形，点V在平面ABCD上的射影E在AD边上，且AE=

1

3

ED，VE=4，BE=EC=2，∠BEC=90°．
（Ⅰ）设F是BC的中点，求异面直线EF与VC所成角的余弦值；
（Ⅱ）设点P在棱VC上，且DP⊥EC．求

VP

PC

的值．

Answer 1

分析：（I）过C作CM∥FE交AD与M，连接VM，则∠VCM为异面直线EF与VC所成角，在△VCD中求CM、VC、VM的值，利用余弦定理可求异面直线所成角的余弦值；
（II）过P作PN⊥EC，交EC于N，连接DN，利用三垂线逆定理可证DN⊥EC，利用∠BCE=∠DEC=45°，求出EN、NC，利用

VP

PC

=

EN

NC

求解．

解答：解：（Ⅰ）在平面ABCD内，过C作CM∥FE交AD与M，连接VM，
则∠VCM或其补角即为异面直线EF与VC所成角．
∵BE=EC=2，∠BEC=90°，∴BC=2

2

又四边形EFCM为平行四边形，
∴CM=EF=

1

2

BC=

2

，
∵VE⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
∴VE⊥CE，∴VC=

16+4

=2

5

，
∵EM=CF=

1

2

BC=

2

，
∴VM=

16+2

=3

2

，
由余弦定理得cos∠VCM=

10

10

，
故异面直线EF与VC所成角的余弦值为

10

10

．
（Ⅱ）过P作PN⊥EC，交EC于N，连接DN，
∵VE⊥平面ABCD，VE?平面VEC，
∴平面ABCD⊥平面VEC，
∴PN⊥平面ABCD，
∴DN为PD在平面ABCD内的射影
∵DP⊥EC，∴EC⊥DN．
∵∠BCE=∠DEC=45°，DE=

3

4

BC=

3 2

2

，
∴EN=DE×cos45°=

3 2

2

×

2

2

=

3

2

，NC=2-

3

2

=

1

2

，
又VE⊥平面ABCD，
故VE⊥EC，PN⊥EC，
∴PN∥VE，
故

VP

PC

=

EN

NC

=

3 2

1 2

=3．

点评：本题考查了异面直线所成的角及其求法，考查了三垂线定理的应用及线面垂直，面面垂直的性质，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，综合性强．