题目内容

已知，数列{an}的前n项和，数列{bn}满足

   （1）求证：数列{an}是等比数列；

   （2）若对于区间[0，1]上的任意实数a，总存在不小于2的自然数k，当时，恒成立，求k的最小值.

解：（1）当

整理得    又由，

所以恒有  ，数列{an}是等比数列

（2）由（1）知

∴

+…+3+1+1=n2－2n+2 

不等式，变形为

时恒成立.

记

解得 

综上知k的最小值为4.

练习册系列答案
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（2010•济南一模）已知：数列{an}的前n项和为Sn，a1=3且当n≥2n∈N+满足Sn-1是an与-3的等差中项．
（1）求a2，a3，a4；
（2）求数列{an}的通项公式．
已知正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
1
8
(a n+2)2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
8
an•an+1
，（n∈N*）且数列{bn}的前n项和为Tn，如果Tn＜m2-m-5对一切n∈N*成立，求正数m的取值范围．
已知一个数列{an}的各项是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有f（k）个2，记数列的前n项的和为Sn．
（1）若f（k）=2k-1，求S100；
（2）若f（k）=2k-1，求S2011．
已知：数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，当n∈N+时，Sn=an-n-1．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想an，并用数学归纳法证明你的猜想；
（3）已知
lim
n→∞
an
an+1+(a+1)n
=
1
2
，求a的取值范围．
已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=
1
4
(an+1)2，数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为
1
2
的等比数列．
（1）求证数列{an}是等差数列；
（2）若cn=an•（2-bn），求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）在（2）条件下，是否存在常数λ，使得数列(
Tn+λ
an+2
)为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．

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