Question

10．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则函数g（x）=f（x）-ln$\frac{x}{2}$的零点个数为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 作出函数y=f（x）的图象，利用数形结合法进行求解．

解答 解：当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，函数y=f（x）的周期为2，

当x＞5时，y=ln$\frac{x}{2}$＞1，此时函数图象无交点，
当x∈[2，3]时，f（x）=2^x-2-1，g（x）=f（x）-ln$\frac{x}{2}$=2^x-2-1-ln$\frac{x}{2}$，
∴g′（x）=2^x-2ln2-$\frac{1}{x}$=$\frac{x•{2}^{x-2}ln2-1}{x}$，∵x∈[2，3]，∴x•2^x-2•ln2-1＞2•2^2-2•ln2-1=2ln2-1＞0，
即g′（x）＞0，
∴g（x）在x∈[2，3]上为增函数，
∵g（2）=0，
∴g（x）在x∈[2，3]上只有一个零点，
可得函数g（x）=f（x）-ln$\frac{x}{2}$的零点个数为4，
故选：B．

点评 本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于中档题．