Question

本题14分）已知动圆过点，且与圆相内切.
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，，与双曲线 交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）圆， 圆心的坐标为，半径.
∵，
∴点在圆内.                                                   
设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，
即.                                              
∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为
, 则.
∴.
∴所求动圆的圆心的轨迹方程为.                          
(2) 由 消去化简整理得：.
设，，则.
△. ①                             
由 消去化简整理得：.
设，则,
△. ②                         
∵，
∴，即，
∴.
∴或.
解得或.                                                                    
当时,由①、②得 ，
∵Z,
∴的值为 ，，;
当，由①、②得 解析