题目内容
某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管）．
（1）设该厂每天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y关于x的函数关系式；
（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个y最小值；
（3）若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）．问按此优惠条件，该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少，并求出这个y的最少（小）值．
（1）设该厂每天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y关于x的函数关系式；
（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个y最小值；
（3）若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）．问按此优惠条件，该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少，并求出这个y的最少（小）值．
分析：（1）由题意知每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1=每公斤每天的保管费用×每天需要消耗原材料×使用的天数，由此可得函数关系式；
（2）由（1）表示出购买一次原材料的总的费用，除以天数x后利用基本不等式求出y的最小值及此时的x的值；
（3）由题意可知，享受八五折优惠至少15天购买一次原材料，求出购买一次原材料的总的费用，除以天数x得到够买一次原材料平均每天支付的总费用y关于x的函数解析式，利用导数判断单调性，由单调性求最值．
（2）由（1）表示出购买一次原材料的总的费用，除以天数x后利用基本不等式求出y的最小值及此时的x的值；
（3）由题意可知，享受八五折优惠至少15天购买一次原材料，求出购买一次原材料的总的费用，除以天数x得到够买一次原材料平均每天支付的总费用y关于x的函数解析式，利用导数判断单调性，由单调性求最值．
解答：解：（1）每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管费用，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天（也就是下次购买原材料的前一天）用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用：
y1=400×O．03[1+2+3+…+（x-1）]=6x2-6x（元）；
（2）由上问可知，购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+1.5×400x元，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用：
y=
(6x2-6x+600)+1.5×400=
+6x+594．
∴y≥2
+594=714．
当且仅当
=6x，即x=10时，取等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元；
（3）按此优惠条件，则至少15天购买一次原材料，
又由上问可知，按此优惠条件购买一次原材料的总费用为：
6x2-6x+600+0.85×1.5×400x 元，其中x≥15．
∴够买一次原材料平均每天支付的总费用：
y=
(6x2-6x+600)+0.85×1.5×400=
+6x+504 (x≥15)．
∴y′=-
+6．
当x≥15时，y′＞0，即y=
+6x+504在[15，+∞）上为增函数．
∴当x=15时，y取最小值，为
+6×15+504=634（元）．
∴按八五折优惠，该厂15天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少，最少值为634元．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用：
y1=400×O．03[1+2+3+…+（x-1）]=6x2-6x（元）；
（2）由上问可知，购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+1.5×400x元，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用：
y=
| 1 |
| x |
| 600 |
| x |
∴y≥2
|
当且仅当
| 600 |
| x |
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元；
（3）按此优惠条件，则至少15天购买一次原材料，
又由上问可知，按此优惠条件购买一次原材料的总费用为：
6x2-6x+600+0.85×1.5×400x 元，其中x≥15．
∴够买一次原材料平均每天支付的总费用：
y=
| 1 |
| x |
| 600 |
| x |
∴y′=-
| 600 |
| x2 |
当x≥15时，y′＞0，即y=
| 600 |
| x |
∴当x=15时，y取最小值，为
| 600 |
| 15 |
∴按八五折优惠，该厂15天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少，最少值为634元．
点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，考查了简单的建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，训练了导数在最值问题中的应用．是中档题．
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最小，并求出这个最小值。