Question

（2008•广州一模）已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N⁺）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把n=3，2代入a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），再借助于a₁=5，即可求出数列的a₂，a₃的值；
（2）先假设存在一个实数λ符合题意，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数，整理

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

即可求出实数λ，进而求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）⇒a₂=2a₁+2²-1=13⇒a₂=13，
同理可得a₃=33，（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

（5分）
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是与n无关的常数，则

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列 {

an+λ

2n

}为等差数列（13分）

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．解决第二问的关键在于由数列 {

an+λ

2n

}为等差数列，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数，进而求出对应实数λ的值．