题目内容
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，如果acosB=bcosA，那么△ABC一定是（ ）
| A、锐角三角形 | B、钝角三角形 | C、直角三角形 | D、等腰三角形 |
分析：根据图形得，在直角△ACD和直角△BCD中，两次利用正弦定理得到bsinA=asinB，又因为bcosA=acosB，所以得到tanA=tanB，而∠A和∠B为锐角，所以∠A=∠B，所以三角形为等腰三角形．
解答：
解法1：过C作CD⊥AB，垂足为D，
在直角△ACD中，根据正弦定理得：
=
，
解得CD=bsinA，
在直角△BCD中，根据正弦定理得：
=
，
解得CD=asinB，
所以bsinA=asinB，
又因为bcosA=acosB
两个等式联立得：tanA=tanB，
而∠A和∠B为锐角，所以∠A=∠B，
所以三角形为等腰三角形；
解法2：∵acosB=bcosA，
∴
=
，又根据正弦定理
=
，
∴
=
，即sinBcosA-sinAcosB=0，
∴sin（B-A）=0，又A和B都为三角形的内角，
∴A=B，
即三角形为等腰三角形．
故选D
解法1：过C作CD⊥AB，垂足为D，
在直角△ACD中，根据正弦定理得：
| b |
| sin90° |
| CD |
| sinA |
解得CD=bsinA，
在直角△BCD中，根据正弦定理得：
| a |
| sinA |
| CD |
| sinB |
解得CD=asinB，
所以bsinA=asinB，
又因为bcosA=acosB
两个等式联立得：tanA=tanB，
而∠A和∠B为锐角，所以∠A=∠B，
所以三角形为等腰三角形；
解法2：∵acosB=bcosA，
∴
| a |
| b |
| cosA |
| cosB |
| a |
| b |
| sinA |
| sinB |
∴
| cosA |
| cosB |
| sinA |
| sinB |
∴sin（B-A）=0，又A和B都为三角形的内角，
∴A=B，
即三角形为等腰三角形．
故选D
点评：考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及运用同角三角函数基本关系的能力．
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